Hilfreiche Ratschläge

Ein paar Informationen zum Würfel und zur Berechnung der Oberfläche des Würfels

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Erklärung des Problems: Die Oberfläche des Würfels ist S. Finden Sie sein Volumen.

Die Aufgabe ist Teil der Mathematik-Grundprüfung für die 11. Klasse unter der Nummer 13 (Probleme in der Stereometrie).

Überlegen Sie, wie solche Probleme beispielhaft gelöst werden, und leiten Sie eine allgemeine Lösung ab.

Die Oberfläche des Würfels beträgt 24. Finden Sie sein Volumen.

Die Oberfläche des Würfels ist gleich der Summe der Flächen aller seiner Flächen. Ein Würfel hat 6 identische Gesichter. Wenn wir 1 Seite für a nehmen, ist die Oberfläche des Würfels gleich:

Wir finden aus der erhaltenen Gleichheit die Seite des Würfels:

Es bleibt das Volumen des Würfels zu finden. Dazu müssen Sie die Seite in einen Würfel heben:

Im Allgemeinen lautet die Lösung für dieses Problem in der Stereometrie wie folgt:

a = √ S / 6 - Seite des Würfels

V = a 3 = (√ S / 6) 3

Wobei S die Oberfläche des Würfels ist.

Es bleibt nur, um bestimmte Werte zu ersetzen und das Ergebnis zu berechnen.

Teile den Artikel mit deinen Klassenkameraden "Finden Sie anhand der Oberfläche des Würfels sein Volumen - wie man es löst».

Gibt es eine andere Lösung?

Schlagen Sie einen anderen Weg vor, um das Problem zu lösen. "Finden Sie angesichts der Oberfläche des Würfels sein Volumen". Vielleicht ist es für jemanden verständlicher:

Was ist die Gegend?

Dieser Wert wird normalerweise mit dem lateinischen Buchstaben S bezeichnet. Dies gilt auch für Schulfächer wie Physik und Mathematik. Es wird in quadratischen Längeneinheiten gemessen. Alles hängt von den Daten im Mengenproblem ab. Es kann mm, cm, m oder km im Quadrat sein. Darüber hinaus kann es vorkommen, dass Einheiten nicht einmal angegeben werden. Wir sprechen einfach über den numerischen Ausdruck des Bereichs ohne Namen.

Also, was ist die Gegend? Dies ist ein Wert, der ein numerisches Merkmal der betreffenden Figur oder des betreffenden Körpers ist. Sie zeigt die Größe ihrer Oberfläche, die durch die Seiten der Figur begrenzt ist.

Welche Form nennt man einen Würfel?

Diese Figur ist ein Polyeder. Und nicht einfach. Er hat Recht, das heißt, er hat alle Elemente gleich zueinander. Sei es Seiten oder Gesichter. Jede Würfelfläche ist ein Quadrat.

Ein anderer Name für den Würfel ist das reguläre Hexaeder, wenn auf Russisch, dann das Sechseck. Es kann aus einem viereckigen Prisma oder einem Parallelepiped gebildet sein. Unter der Voraussetzung, dass alle Kanten gleich sind und die Winkel 90 Grad bilden.

Diese Figur ist so harmonisch, dass sie im Alltag häufig verwendet wird. Zum Beispiel sind die ersten Babyspielzeuge Würfel. Und Spaß für die Älteren ist Rubik's Cube.

Wie ist der Würfel mit anderen Figuren und Körpern verbunden?

Wenn wir einen Abschnitt eines Würfels zeichnen, der durch seine drei Seiten verläuft, sieht er wie ein Dreieck aus. Wenn Sie sich von der Oberseite entfernen, wird der Abschnitt größer. Es wird eine Zeit geben, in der sich bereits 4 Flächen schneiden und die Figur im Querschnitt zu einem Viereck wird. Wenn Sie einen Schnitt durch die Mitte des Würfels zeichnen, so dass er senkrecht zu seinen Hauptdiagonalen verläuft, erhalten Sie ein regelmäßiges Sechseck.

Innerhalb des Würfels können Sie ein Tetraeder (dreieckige Pyramide) zeichnen. Eine seiner Ecken befindet sich oben auf dem Tetraeder. Die restlichen drei fallen mit den Eckpunkten zusammen, die an den gegenüberliegenden Enden der Kanten der ausgewählten Ecke des Würfels liegen.

Ein Oktaeder (ein konvexes regelmäßiges Polyeder, das wie zwei verbundene Pyramiden aussieht) kann eingegeben werden. Finden Sie dazu die Zentren aller Flächen des Würfels. Sie werden die Eckpunkte des Oktaeders sein.

Der umgekehrte Vorgang ist ebenfalls möglich, dh es ist möglich, tatsächlich einen Würfel innerhalb des Oktaeders einzugeben. Erst jetzt werden die Zentren der Flächen der ersten die Eckpunkte für die zweite.

Methode 1: Berechnen Sie die Fläche eines Würfels an seiner Kante

Um die gesamte Oberfläche eines Würfels zu berechnen, ist die Kenntnis eines seiner Elemente erforderlich. Der einfachste Weg, um zu lösen, wenn seine Kante bekannt ist, oder mit anderen Worten, die Seite des Quadrats, aus dem es besteht. Normalerweise wird dieser Wert mit dem lateinischen Buchstaben "a" bezeichnet.

Nun müssen wir uns an die Formel erinnern, nach der das Quadrat berechnet wird. Um nicht durcheinander zu kommen, wird seine Bezeichnung durch den Buchstaben S eingeleitet1.

Zur Vereinfachung ist es besser, Zahlen für alle Formeln festzulegen. Dies wird der erste sein.

Dies ist jedoch die Fläche von nur einem Quadrat. Es gibt sechs davon: 4 an den Seiten und 2 unten und oben. Dann wird die Oberfläche des Würfels nach folgender Formel berechnet: S = 6 * a 2. Ihre Nummer ist 2.

Methode 2: Wie berechnet man die Fläche, wenn das Körpervolumen bekannt ist?

Diese Methode läuft darauf hinaus, die Länge der Rippe über ein bekanntes Volumen zu zählen. Und dann verwende die bekannte Formel, die hier durch die Zahl 2 angezeigt wird.

Aus dem mathematischen Ausdruck für das Volumen des Hexaeders wird abgeleitet, aus welchem ​​die Länge der Rippe berechnet werden kann. Da ist sie:

Die Nummerierung wird fortgesetzt und die Nummer 3 ist bereits hier.

Jetzt kann es berechnet und in die zweite Formel eingesetzt werden. Wenn wir nach den Normen der Mathematik handeln, müssen wir den folgenden Ausdruck ableiten:

Dies ist die Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche des Würfels, die verwendet werden kann, wenn das Volumen bekannt ist. Die Nummer dieses Eintrags ist 4.

Methode 3: Berechnen Sie die Fläche entlang der Diagonale eines Würfels

Um die Fläche der vollen Oberfläche des Würfels zu berechnen, ist es auch erforderlich, eine Kante durch die bekannte Diagonale zu ziehen. Hier verwenden wir die Formel für die Hauptdiagonale des Hexaeders:

Es ist einfach, daraus einen Ausdruck für die Würfelkante abzuleiten:

Dies ist die sechste Formel. Nach der Berechnung können Sie wieder die Formel unter der zweiten Ziffer verwenden. Aber es ist besser, Folgendes zu schreiben:

Es stellt sich heraus, dass es mit der Nummer 7 versehen ist. Wenn Sie genau hinschauen, werden Sie feststellen, dass die letzte Formel bequemer ist als eine schrittweise Berechnung.

Methode 4: Verwenden des Radius des beschrifteten oder eingekreisten Kreises zur Berechnung der Fläche des Würfels

Wenn wir den Radius des in der Nähe des Hexaeders beschriebenen Kreises mit dem Buchstaben R bezeichnen, lässt sich die Oberfläche des Würfels leicht mit der folgenden Formel berechnen:

Seine Seriennummer ist 8. Es ist leicht zu erhalten, da der Durchmesser des Kreises vollständig mit der Hauptdiagonale übereinstimmt.

Indem wir den Radius des eingeschriebenen Kreises mit dem lateinischen Buchstaben r bezeichnen, können wir die folgende Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche des Hexaeders erhalten:

Ein paar Worte zur Mantelfläche des Hexaeders

Wenn das Problem das Auffinden des Bereichs der Seitenfläche des Würfels erfordert, müssen Sie die bereits oben beschriebene Technik anwenden. Wenn die Kante des Körpers bereits angegeben ist, muss lediglich die quadratische Fläche mit 4 multipliziert werden. Diese Zahl ist entstanden, weil der Würfel nur 4 Seitenflächen hat. Die mathematische Notation für diesen Ausdruck lautet wie folgt:

Ihre Zahl ist 10. Werden andere Größen angegeben, so verfahren sie ähnlich wie oben beschrieben.

Beispiele für Aufgaben

Bedingung Eins. Die Oberfläche des Würfels ist bekannt. Es ist 200 cm². Es ist notwendig, die Hauptdiagonale des Würfels zu berechnen.

1 Weg. Sie müssen die Formel verwenden, die durch die Zahl 2 angegeben ist. Daraus lässt sich leicht "a" ableiten. Diese mathematische Notation sieht aus wie die Quadratwurzel des Quotienten, gleich S durch 6. Nach dem Ersetzen der Zahlen ergibt sich:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

Mit der fünften Formel können Sie sofort die Hauptdiagonale des Würfels berechnen. Dazu müssen Sie den Wert der Kante mit √3 multiplizieren. Das ist einfach. Die Antwort stellt sich heraus, dass die Diagonale 10 cm beträgt.

2 wege. Falls Sie die Formel für die Diagonale vergessen, aber ich erinnere mich an den Satz von Pythagoras.

Finden Sie ähnlich wie bei der ersten Methode die Kante. Dann müssen wir den Satz für die Hypotenuse zweimal schreiben: den ersten für das Dreieck auf der Fläche, den zweiten für dasjenige, das die gewünschte Diagonale enthält.

x² = a² + a², wobei x die Diagonale des Quadrats ist.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². Aus diesem Eintrag ist leicht ersichtlich, wie die Formel für die Diagonale erhalten wird. Und dann werden alle Berechnungen wie bei der ersten Methode sein. Es ist etwas länger, aber Sie können sich die Formel nicht merken, sondern selbst holen.

Antwort: Die Diagonale des Würfels beträgt 10 cm.

Die zweite Bedingung. Berechnen Sie aus der bekannten Oberfläche, die 54 cm 2 entspricht, das Volumen des Würfels.

Mit der Formel unter der zweiten Ziffer müssen Sie den Wert der Würfelkante ermitteln. Wie dies gemacht wird, wird ausführlich in der ersten Methode zur Lösung des vorherigen Problems beschrieben. Nach all den Berechnungen erhalten wir a = 3 cm.

Nun müssen Sie die Formel für das Volumen des Würfels verwenden, bei der die Länge der Rippe um den dritten Grad angehoben wird. Das Volumen wird also wie folgt betrachtet: V = 3 3 = 27 cm 3.

Antwort: Das Volumen des Würfels beträgt 27 cm 3.

Die dritte Bedingung. Es ist erforderlich, die Kante des Würfels zu finden, für die die folgende Bedingung erfüllt ist. Wenn die Rippe um 9 Einheiten vergrößert wird, vergrößert sich die gesamte Oberfläche um 594.

Da das Problem keine expliziten Zahlen enthält, sondern nur den Unterschied zwischen dem Geschehenen und dem Gewordenen, müssen wir eine zusätzliche Notation einführen. Es ist nicht schwer. Der gewünschte Wert sei gleich "a". Dann ist die vergrößerte Kante des Würfels gleich (a + 9).

In diesem Wissen müssen Sie die Formel für die Oberfläche des Würfels zweimal aufschreiben. Das erste - für den Anfangswert der Kante - stimmt mit dem überein, der mit der Nummer 2 nummeriert ist. Das zweite ist etwas anders. Darin müssen Sie anstelle von „a“ die Summe (a + 9) schreiben. Da es sich bei dem Problem um den Unterschied in der Fläche handelt, müssen Sie die kleinere von der größeren Fläche subtrahieren:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.

Notwendigkeit, die Transformation durchzuführen. Zuerst Klammer 6 auf der linken Seite der Gleichheit und dann vereinfachen, was in Klammern bleibt. Nämlich (a + 9) 2 - a 2. Hier wird die Differenz der Quadrate geschrieben, die wie folgt transformiert werden kann: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Nachdem wir den Ausdruck vereinfacht haben, erhalten wir 9 (2a + 9).

Jetzt müssen Sie es mit 6 multiplizieren, dh mit der Zahl, die vor der Klammer stand, und 594: 54 (2a + 9) = 594 entsprechen. Dies ist eine lineare Gleichung mit einer unbekannten Zahl. Es ist einfach zu lösen. Zuerst müssen Sie die Klammern öffnen und dann den Term mit einem unbekannten Wert auf die linke Seite der Gleichheit und die Zahlen auf die rechte Seite übertragen. Die folgende Gleichung wird erhalten: 2a = 2. Daraus ist ersichtlich, dass der gewünschte Wert 1 ist.

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